Contributions to the Horn-Schunck Optical Flow Equations -Part III: Alternating Iteration Algorithms

The Horn-Schunck equations are a coupled system of two partial differential equations which aim at finding motion information in a given image sequence. Recent results [1, 2] asserted that this system is well-posed and can not be decoupled under any linear transformations. In this paper, two alternating iterative algorithms are proposed to solve this system. These algorithms have three properties: first, at each single iteration, both algorithms consist of two decoupled, scalar equations of elliptic type, driven by the last approximate solutions; second, the particular form of iterations allows analytical solutions expressed via potential integral, Poisson integral, conformal mapping and Feynman-Kac formula; third, exponential convergence of these algorithms are established under mild conditions and the rates of convergence are given with the help of energy inequalities and Banach fixed point principle for contraction mappings. Limitations of these algorithms are discussed. Streszczenie. W artykule zaproponowano sposób analizy i rozwiązywania równań Horn’a-Schunck’a. Rozwiązanie polega na zastosowaniu dwóch algorytmów o przemiennej iteracji. W każdym kroku obydwa algorytmy składają się z dwóch niezależnych eliptycznych równań skalarnych, bazujących na ostatnim przybliżonym rozwiązaniu. Otrzymane rozwiązanie może być wyrażone poprzez całkę potencjału, całkę Poisson’a, odwzorowanie wiernokątne, formułę Feynman’a-Kac’a. Przedstawiono i omówiono ograniczenia stosowania proponowanych algorytmów. (Analiza równań Horn-Schunck’a przepływu optycznego – część III: algorytmy o iteracji przemiennej).